湖南師范大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱不僅能給你一個(gè)復(fù)習(xí)的方向,還能幫助你梳理整個(gè)知識(shí)脈絡(luò),方便記憶。今天,小編為大家整理了“2023考研大綱:湖南師范大學(xué)2023年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目《高等代數(shù)》考試大綱”的相關(guān)內(nèi)容,希望對(duì)大家有所幫助!
2023年碩士研究生入學(xué)考試自命題考試大綱
考試科目代碼:[808]
考試科目名稱:高等代數(shù)
一、考核目標(biāo)
(一)要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論,熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法。
(二)要求考生具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
二、試卷結(jié)構(gòu)
(一)考試時(shí)間:180分鐘,滿分:150分。
(二)題型結(jié)構(gòu):解答題,證明題。
三、答題方式
答題方式為閉卷,筆試
四、考試內(nèi)容與考試要求
1、多項(xiàng)式
考試內(nèi)容
數(shù)域,一元多項(xiàng)式,整除的概念,最大公因式,因式分解定理,重因式,多項(xiàng)式函數(shù),復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解,有理系數(shù)多項(xiàng)式,多元多項(xiàng)式。
考試要求
(1)掌握數(shù)域的定義,并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。
(2)正確理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義,多項(xiàng)式相乘,次數(shù),一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。
(3)正確理解整除的定義,熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。
(4)正確理解和掌握兩個(gè)(或若干個(gè))多項(xiàng)式的最大公因式,互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。
(5)正確理解和掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。
(6)正確理解和掌握k重因式的定義。
(7)掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念,余數(shù)定理,多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。正確理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系。
(8)理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)(實(shí))系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。
(9)正確理解和掌握本原多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。掌握整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算。
(10)了解多元多項(xiàng)式的基本概念。
2、行列式
考試內(nèi)容
排列,n級(jí)行列式的定義,n級(jí)行列式的性質(zhì),n級(jí)行列式的展開,行列式的計(jì)算,克拉默(Cramer)法則,拉普拉斯(Laplace)定理,行列式的乘法規(guī)則。
考試要求
(1)理解并掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。
(2)深刻理解和掌握n級(jí)行列式的定義,并能用定義計(jì)算一些特殊行列式。
(3)熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。
(4)正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念,能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡單行列式。
(5)正確理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行(列)展開的公式。掌握計(jì)算行列式的基本方法與技巧。
(6)熟練掌握克拉默(Cramer)法則,
(7)了解拉普拉斯(Laplace)定理,能初步利用行列式的乘法規(guī)則解決簡單的問題。
3、線性方程組
考試內(nèi)容
消元法,n維向量空間,線性相關(guān)性,矩陣的秩,線性方程組有解判別定理,線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
考試要求
(1)正確理解和掌握一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣,線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。
(2)理解和掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。
(3)正確理解和掌握線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。深刻理解向量組的極大無關(guān)組、秩的定義,并會(huì)求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。
(4)深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩,以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。
(5)熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。
(6)正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。了解解空間的概念。熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對(duì)有解的一般線性方程組,會(huì)求其全部解。
4、矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念,矩陣的運(yùn)算,矩陣乘積的行列式與秩,矩陣的逆,矩陣的分塊,初等矩陣,分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。
考試要求
(1)掌握矩陣的的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。
(2)掌握矩陣乘積的行列式定理,矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。
(3)正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念,掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。
(4)理解分塊矩陣的意義,掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。
(5)正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系,熟練掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件;會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。
(6)理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系,會(huì)求分塊矩陣的逆。
5、二次型
考試內(nèi)容
二次型的矩陣表示,標(biāo)準(zhǔn)型,唯一性,正定(半正定)二次型。
考試要求
(1)正確理解二次形和非退化線性替換的概念,掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。
(2)理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。
(3)正確理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性,了解符號(hào)差、慣性指數(shù)等概念,掌握慣性定理的證明思想。
(4)正確理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念,熟練掌握正定二次型(半正定二次型)的若干等價(jià)條件。
6、線性空間
考試內(nèi)容
集合、映射,線性空間的定義與簡單性質(zhì),維數(shù)、基與坐標(biāo),基變換與坐標(biāo)變換,線性子空間,子空間的交與和,子空間的直和,線性空間的同構(gòu)。
考試要求
(1)正確理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì),會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為線性空間。
(2)理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念,正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)。
(3)基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。
(4)正解理解和掌握基之間的過渡矩陣及其性質(zhì)。
(5)正確理解線性子空間的定義及判別定理,掌握線性方程組的解空間的概念和性質(zhì),掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。
(6)掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì),掌握維數(shù)公式并能熟練運(yùn)用。
(7)深刻理解子空間的直和的概念,以及判斷直和的若干充要條件。
7、線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的定義,線性變換的運(yùn)算,線性變換的矩陣,特征值與特征向量,對(duì)角矩陣,線性變換的值域與核,不變子空間,若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹,最小多項(xiàng)式。
考試要求
(1)理解和掌握線性變換的定義及性質(zhì)。
(2)掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律,理解線性變換的多項(xiàng)式。
(3)深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系,掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。
(4)理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì),會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量,掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。
(5)掌握n維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的充要條件。
(6)掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念,深刻理解和掌握線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。
(7)掌握不變子空間的定義,會(huì)判定一個(gè)子空間是否是A-子空間,深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系,掌握將空間V按特征值分解成不變子空間和直和表達(dá)式。
(8)了解若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形及其相關(guān)性質(zhì)。
(9)掌握最小多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì),會(huì)求任意Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。
8、λ-矩陣
考試內(nèi)容
-矩陣的定義,-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型,不變因子,矩陣相似的條件,初等因子,若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo),矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。
考試要求
(1)了解-矩陣的定義,理解-矩陣可逆的充要條件。
(2)了解-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關(guān)系。
(3)了解-矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形
(4)了解特征矩陣E-A之間的等價(jià)和矩陣之間的相似的關(guān)系。
9、歐幾里德空間
考試內(nèi)容
定義與基本性質(zhì),標(biāo)準(zhǔn)正交基,同構(gòu),正交變換,子空間,實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形,向量到子空間的距離,最小二乘法。
考試要求
(1)深刻理解歐氏空間的定義及性質(zhì),深刻理解內(nèi)積的本質(zhì),掌握向量的長度,兩個(gè)向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì),掌握各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。
(2)正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念,掌握施密特正交化過程,并能把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量。
(3)正確理解和掌握正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系,掌握正交變換與向量的長度,標(biāo)準(zhǔn)正交基,正交矩陣間的關(guān)系。
(4)正確理解和掌握兩個(gè)子空間正交的概念,掌握正交與直和的關(guān)系,及有限維歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。
(5)深刻理解并掌握任一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣均可正交相似于一個(gè)對(duì)角陣,并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
(6)正確計(jì)算向量之間的距離,了解最小二乘法原理。
五、主要參考書目
[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編,高等代數(shù)(第四版)[M],高等教育出版社,北京(2013).
[2]張禾瑞,郝炳新編,高等代數(shù)(第五版)[M],高等教育出版社,北京(2007).
原文標(biāo)題:湖南理工學(xué)院2023年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱
原文鏈接:https://xk.hnist.cn/info/1040/7226.htm
以上就是小編整理“2023考研大綱:湖南師范大學(xué)2023年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目《高等代數(shù)》考試大綱”的全部內(nèi)容,想了解更多考研復(fù)試大綱信息,請(qǐng)持續(xù)關(guān)注本網(wǎng)站!