海南師范大學(xué)全國(guó)碩士研究生招生自命題考試大綱
考試科目代碼：[804] 考試科目名稱：高等代數(shù)
一、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)
（一）試卷成績(jī)及考試時(shí)間
本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。
（二）答題方式
答題方式為閉卷、筆試。
（三）試卷結(jié)構(gòu)
計(jì)算題；證明題；綜合題等。
二、考試目標(biāo)：
1. 掌握高等代數(shù)的基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)。
2. 理解高等代數(shù)的基本理論和基本方法。
3. 運(yùn)用高等代數(shù)的基本理論和方法分析、解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。
三、考試范圍：
第一章：一元多項(xiàng)式
1、考試內(nèi)容
數(shù)域；一元多項(xiàng)式；整除的概念；最大公因式；；因式分解定理；重因式；多項(xiàng)式函數(shù)；復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解；有理系數(shù)多項(xiàng)式。
2、考試要求
（1） 掌握數(shù)域的定義,并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。
（2） 正確理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義,多項(xiàng)式相乘,次數(shù),一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。
（3）正確理解整除的定義,熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。
（4）正確理解和掌握兩個(gè)(或若干個(gè))多項(xiàng)式的最大公因式,互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。
（5）正確理解和掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握標(biāo)準(zhǔn)分解式。
（6）正確理解和掌握k重因式的定義。
（7）掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念,余數(shù)定理,多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。正確理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系。
（8）理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。
（9）深刻理解有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解與整系數(shù)多項(xiàng)式分解的關(guān)系。掌握本原多項(xiàng)式的定義、高斯引理、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的性質(zhì)、Eisenstein判別法。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：整除概念、帶余除法及整除的性質(zhì)、最大公因式、互素、輾轉(zhuǎn)相除法、不可約多項(xiàng)式概念、性質(zhì)、因式分解及唯一性定理、k重因式與k重根的關(guān)系、復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理、本原多項(xiàng)式、Eisenstein判別法。
難點(diǎn): 整除理論；多項(xiàng)式的因式分解理論。
第二章：行列式
1、考試內(nèi)容
排列；n級(jí)行列式；n級(jí)行列式的性質(zhì)；行列式的計(jì)算；行列式按一行（列）展開(kāi)；克蘭姆法則。
2、考試要求
（1）理解并掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。
（2）深刻理解和掌握n級(jí)行列式的定義,能用定義計(jì)算一些特殊行列式。
（3）熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。
（4）正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單行列式。
（5）正確理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開(kāi)的公式。掌握“化三角形法”，“遞推降階法”，“數(shù)學(xué)歸納法”等計(jì)算行列式的技巧。
（6）熟練掌握克萊姆(Cramer)法則。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：n級(jí)行列式的定義、行列式的基本性質(zhì)、矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換、行列式按一行（列）展開(kāi)的公式、克萊姆(Cramer)法則。
難點(diǎn)：行列式的計(jì)算。
第三章：線性方程組
1、考試內(nèi)容
消元法；n維向量組；線性相關(guān)性；矩陣的秩；線性方程組有解判別定理；線性方程組解的結(jié)構(gòu)
2、考試要求
（1）正確理解和掌握一般線性方程組,方程組的解,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。
（2）理解和掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算。深刻理解n維向量空間的概念。
（3）正確理解和掌握線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。深刻理解向量組的極大無(wú)關(guān)組、秩的定義，會(huì)求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。
（4）深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩、秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。
（5）熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。
（6）正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,解空間的維數(shù)與概念。熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。會(huì)求一般線性方程組有解的全部解。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：線性方程組的初等變換、求線性方程組的一般解、n維向量、線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、兩個(gè)向量組等價(jià)、極大無(wú)關(guān)組、向量組的秩、求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組、矩陣的秩、線性方程組的有解判別定理、線性方程組的公式解、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理、求一般線性方程組有解的全部解。
難點(diǎn)：線性相關(guān)性。
第四章：矩陣
1、考試內(nèi)容
矩陣的概念；矩陣的運(yùn)算；矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆；矩陣的分塊；初等矩陣；分塊矩陣的初等變換
2、考試要求
(1) 了解矩陣概念產(chǎn)生的背景。
(2) 掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。
(3) 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。
(4) 正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n級(jí)方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。
(5) 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。
(6) 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及其它們之間的關(guān)系，熟練掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。
(7) 理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算、矩陣乘積的行列式定理、矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系、可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、n階方陣可逆的充要條件、用公式法求逆矩陣、分塊矩陣的意義及運(yùn)算、初等矩陣、用初等變換的方法逆矩陣、分塊矩陣的逆。
難點(diǎn)：可逆矩陣及求逆矩陣。
第五章：二次型
1、考試內(nèi)容
二次型的矩陣表示；標(biāo)準(zhǔn)形；唯一性；正定二次型。
2、考試要求
(1) 正確理解二次形和非退化線性替換的概念；掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。
(2) 理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法（配方法、初等變換法）。
(3) 正確理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性；掌握慣性定理。
(4) 正確理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念；熟練掌握正定二次型及半正定二次型的等價(jià)條件。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：非退化線性替換、二次型的矩陣、二次型與其矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系、矩陣的合同、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形的唯一性、慣性定理、正定二次型的判別條件、半正定二次型的等價(jià)條件。
難點(diǎn)：實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范形及正定二次型。
第六章：線性空間
1、考試內(nèi)容
集合與映射；線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)；維數(shù)，基與坐標(biāo)；基變換與坐標(biāo)變換；線性子空間；子空間的交與和；子空間的直和；線性空間的同構(gòu)。
2、考試要求
(1) 掌握映射、單射、滿射、一一映射、逆映射等概念。
(2) 正確理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)；會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間。
(3) 理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)等概念；正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)。
(4) 正確理解和掌握基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。
(5) 正確理解線性子空間的定義及判別定理；掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。
(6) 掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)；熟練掌握維數(shù)公式。
(7) 深刻理解子空間的直和的概念及和為直和的充要條件。
(8) 理解和掌握線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：線性空間、判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間、n維線性空間的概念及性質(zhì)、基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系、線性子空間的定義及判別定理、向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件、子空間的交與和、維數(shù)公式、子空間的直和、線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件。
難點(diǎn)：線性空間的概念；子空間的直和。
第七章：線性變換
1、考試內(nèi)容
線性變換的定義；線性變換的運(yùn)算；線性變換的矩陣；特征值與特征向量；對(duì)角矩陣；線性變換的值域與核；不變子空間； 最小多項(xiàng)式。
2、考試要求
(1) 理解和掌握線性變換的定義及性質(zhì)。
(2) 掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。
(3) 深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系；掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。
(4) 理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)；會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量；掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密爾頓-凱萊定理。
(5) 掌握n 維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角型的充要條件。
(6) 掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。
(7) 掌握不變子空間的定義；會(huì)判定一個(gè)子空間是否是A-子空間；深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系。
(8) 正確理解最小多項(xiàng)式的概念；掌握一個(gè)矩陣相似于一個(gè)對(duì)角陣與它的最小多項(xiàng)式的關(guān)系。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：線性變換的定義及性質(zhì)、線性變換的運(yùn)算、線性變換與矩陣的聯(lián)系、矩陣相似、線性變換在不同基下的矩陣、矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式、求矩陣的特征值和特征向量、相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系、哈密爾頓-凱萊定理、線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角型的充要條件、線性變換的值域、核、秩、零度、線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系、不變子空間的定義、判定一個(gè)子空間是否是A-子空間、不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系、最小多項(xiàng)式。
難點(diǎn)：特征值和特征向量；線性變換的值域、核；不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)。
第八章：歐幾里得空間
1、考試內(nèi)容
定義與基本概念；標(biāo)準(zhǔn)正交基；同構(gòu)；正交變換；子空間；實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形；
向量到子空間的距離。
2、考試要求
(1) 深刻理解歐氏空間的定義及性質(zhì)；掌握向量的長(zhǎng)度，兩個(gè)向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，使學(xué)生掌握各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。
(2) 正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過(guò)程，并能把一組線性無(wú)關(guān)的向量化為單位正交的向量。
(3) 深刻理解兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的定義。掌握兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的意義及同構(gòu)與空間維數(shù)之間的關(guān)系。
(4) 正確理解和掌握正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，讓學(xué)生掌握正交變換與向量的長(zhǎng)度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。
(5) 正確理解和掌握兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。
(6) 深刻理解并掌握任一個(gè)對(duì)稱矩陣均可正交相似于一個(gè)對(duì)角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：歐氏空間的定義及性質(zhì)，向量的長(zhǎng)度，兩個(gè)向量的夾角、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，施密特正交化，歐氏空間同構(gòu)的意義及同構(gòu)與空間維數(shù)之間的關(guān)系，正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
難點(diǎn)：施密特正交化；正交變換。
四、主要參考書(shū)目
《高等代數(shù)》，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，高等教育出版社。
原文標(biāo)題：海南師范大學(xué)2021年全日制碩士研究生招生簡(jiǎn)章
原文鏈接：http://yjsc.hainnu.edu.cn/html/2020/gongzuoxinxi_0909/9032.html
以上就是“2021考研大綱：海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院804-高等代數(shù)2021年碩士研究生招生考試大綱”的全部?jī)?nèi)容，更多考研大綱信息，請(qǐng)多多關(guān)注！
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