2021年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目考試大綱
考試科目代碼:[808]
考試科目名稱: 高等代數(shù)
一、考核目標(biāo)
（一）要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法。
（二）要求考生具有較強(qiáng)的抽象思維能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。
二、試卷結(jié)構(gòu)
（一）考試時(shí)間：180分鐘，滿分：150分
（二）題型結(jié)構(gòu)
a: 填空題，5小題，每小題6分，共30分；
b: 計(jì)算題，4小題，每小題15分，共60分；
c: 證明題，4小題，每小題15分，共60分。
三、 答題方式
答題方式為閉卷 筆試
四、考試內(nèi)容與考試要求
1、多項(xiàng)式
考試內(nèi)容
數(shù)域，一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式。
考試要求
（1）掌握數(shù)域的定義，并會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是數(shù)域。
（2）正確理解數(shù)域P上一元多項(xiàng)式的定義，多項(xiàng)式相乘，次數(shù)，一元多項(xiàng)式環(huán)等概念。掌握多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律。
（3）正確理解整除的定義，熟練掌握帶余除法及整除的性質(zhì)。
（4）正確理解和掌握兩個(gè)（或若干個(gè)）多項(xiàng)式的最大公因式，互素等概念及性質(zhì)。能用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式。
（5）正確理解和掌握不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。了解因式分解定理。
（6）正確理解和掌握k重因式的定義。
（7）掌握多項(xiàng)式函數(shù)的概念，余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根及性質(zhì)。正確理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系。
（8）理解代數(shù)基本定理。熟練掌握復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理及標(biāo)準(zhǔn)分解式。
（9）正確理解和掌握本原多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)。 掌握整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的計(jì)算。
（10）了解多元多項(xiàng)式的基本概念。
2、行列式
考試內(nèi)容
排列，n級(jí)行列式的定義，n級(jí)行列式的性質(zhì)，n級(jí)行列式的展開，行列式的計(jì)算，克拉默(Cramer)法則，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法規(guī)則。
考試要求
（1）理解并掌握排列、逆序、逆序數(shù)、奇偶排列的定義。掌握排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系。
（2）深刻理解和掌握n級(jí)行列式的定義，并能用定義計(jì)算一些特殊行列式。
（3）熟練掌握行列式的基本性質(zhì)。
（4）正確理解矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變換等概念，能利用行列式性質(zhì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單行列式。
（5）正確理解元素的余子式、代數(shù)余子式等概念。熟練掌握行列式按一行（列）展開的公式。掌握計(jì)算行列式的基本方法與技巧。
（6）熟練掌握克拉默(Cramer)法則，
（7）了解拉普拉斯(Laplace)定理，能初步利用行列式的乘法規(guī)則解決簡(jiǎn)單的問題。
3、線性方程組
考試內(nèi)容
消元法，n維向量空間，線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)。
考試要求
（1）正確理解和掌握一般線性方程組，方程組的解，增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)。掌握階梯形方程組的特征及作用。會(huì)求線性方程組的一般解。
（2）理解和掌握n維向量及兩個(gè)n維向量相等的定義。熟練掌握向量的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)。
（3）正確理解和掌握線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義及性質(zhì)。掌握兩個(gè)向量組等價(jià)的定義及等價(jià)性質(zhì)定理。深刻理解向量組的極大無關(guān)組、秩的定義，并會(huì)求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。
（4）深刻理解和掌握矩陣的行秩、列秩，以及矩陣的秩的定義。掌握矩陣的秩與其子式的關(guān)系。
（5）熟練掌握線性方程組的有解判別定理。理解和掌握線性方程組的公式解。
（6）正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。了解解空間的概念。熟練掌握基礎(chǔ)解系的求法、線性方程組的結(jié)構(gòu)定理。并對(duì)有解的一般線性方程組，會(huì)求其全部解。
4、矩陣
考試內(nèi)容
矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換及應(yīng)用。
考試要求
（1）掌握矩陣的的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律。
（2）掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。
（3）正確理解和掌握可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握一個(gè)n階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè)矩陣的逆矩陣。
（4）理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)。
（5）正確理解和掌握初等矩陣、初等變換等概念及它們之間的關(guān)系，熟練掌握一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件；會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣。
（6）理解分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系，會(huì)求分塊矩陣的逆。
5、二次型
考試內(nèi)容
二次型的矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)型，唯一性，正定（半正定）二次型。
考試要求
（1）正確理解二次形和非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示及二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握矩陣的合同概念及性質(zhì)。
（2）理解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的兩種基本方法。
（3）正確理解復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性，了解符號(hào)差、慣性指數(shù)等概念，掌握慣性定理的證明思想。
（4）正確理解正定、半正定、負(fù)定二次型及正定、半正定矩陣等概念，熟練掌握正定二次型（半正定二次型）的若干等價(jià)條件。
6、線性空間
考試內(nèi)容
集合、映射，線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)，維數(shù)、基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和，子空間的直和，線性空間的同構(gòu)。
考試要求
（1）正確理解和掌握線性空間的定義及性質(zhì)，會(huì)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為線性空間。
（2）理解線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，正確理解和掌握n維線性空間的概念及性質(zhì)。
（3）基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系。
（4）正解理解和掌握基之間的過渡矩陣及其性質(zhì)。
（5）正確理解線性子空間的定義及判別定理，掌握線性方程組的解空間的概念和性質(zhì)，掌握向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件。
（6）掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，掌握維數(shù)公式并能熟練運(yùn)用。
（7）深刻理解子空間的直和的概念，以及判斷直和的若干充要條件。
7、線性變換
考試內(nèi)容
線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形介紹，最小多項(xiàng)式。
考試要求
（1）理解和掌握線性變換的定義及性質(zhì)。
（2）掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，理解線性變換的多項(xiàng)式。
（3）深刻理解和掌握線性變換與矩陣的聯(lián)系，掌握矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)。
（4）理解和掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，會(huì)求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，掌握相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密頓-凱萊定理。
（5）掌握n維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角矩陣的充要條件。
（6）掌握線性變換的值域、核、秩、零度等概念，深刻理解和掌握線性變換的值域與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系。
（7）掌握不變子空間的定義，會(huì)判定一個(gè)子空間是否是A-子空間，深刻理解不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系，掌握將空間V按特征值分解成不變子空間和直和表達(dá)式。
（8）了解若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形及其相關(guān)性質(zhì)。
（9）掌握最小多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)，會(huì)求任意Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。
8、λ-矩陣
考試內(nèi)容
-矩陣的定義，-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，不變因子，矩陣相似的條件，初等因子，若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。
考試要求
（1）了解-矩陣的定義，理解-矩陣可逆的充要條件。
（2）了解-矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關(guān)系。
（3）了解-矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形
（4）了解特征矩陣E-A之間的等價(jià)和矩陣之間的相似的關(guān)系。
9、歐幾里德空間
考試內(nèi)容
定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實(shí)對(duì)稱矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，向量到子空間的距離，最小二乘法。
考試要求
（1）深刻理解歐氏空間的定義及性質(zhì)，深刻理解內(nèi)積的本質(zhì)，掌握向量的長(zhǎng)度，兩個(gè)向量的夾角、單位向量、正交及度量矩陣等概念和基本性質(zhì)，掌握各種概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。
（2）正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化過程，并能把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量。
（3）正確理解和掌握正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，掌握正交變換與向量的長(zhǎng)度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系。
（4）正確理解和掌握兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系，及有限維歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)。
（5）深刻理解并掌握任一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣均可正交相似于一個(gè)對(duì)角陣，并掌握求正交陣的方法。能用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
（6）正確計(jì)算向量之間的距離，了解最小二乘法原理。
五、主要參考書目
[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等代數(shù) (第四版)，高等教育出版社, 北京（2013）.
[2] 張禾瑞，郝炳新編，高等代數(shù) (第五版)，高等教育出版社，北京（2007）.
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