為了幫助廣大考生復(fù)習(xí)好、考好數(shù)學(xué)，下面對多年來考研數(shù)學(xué)真題各個(gè)章節(jié)考點(diǎn)的分布規(guī)律進(jìn)行了細(xì)致的分析總結(jié)，現(xiàn)與大家分享，供各位考生參考，希望對大家有所幫助。下面對考研數(shù)學(xué)(二)中的一元函數(shù)積分學(xué)部分的真題考點(diǎn)進(jìn)行分析總結(jié)。
一元函數(shù)積分學(xué)包括三部分內(nèi)容：不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用。這幾部分內(nèi)容的考點(diǎn)分布規(guī)律如下表所示。
上面表格中數(shù)字表示相應(yīng)年份的試卷中考題的題號，數(shù)字后面括號里的文字說明表示該考題涉及的主要考點(diǎn)或主要解題方法。
注：1)“計(jì)算”指定積分的計(jì)算，2)“反常計(jì)算”指反常積分的計(jì)算，3)“反常斂散”指反常積分的收斂和發(fā)散的判斷，4)“分部”指分部積分法，“倒變換”指1/x=t的變換，5)“大小比較”指定積分大小的比較，6)“旋轉(zhuǎn)體積”指旋轉(zhuǎn)體的體積問題;7)“變限求導(dǎo)”指對變限積分函數(shù)求導(dǎo)，“變限函數(shù)”指變積分限的函數(shù);8)“幾何意義”指定積分的幾何意義;9)“最值”指函數(shù)的最小值和最大值。
從近15年考題特點(diǎn)來看，關(guān)于不定積分的內(nèi)容，直接考的次數(shù)較少，最近5年都沒有直接考，在2007年之前考的頻率比2007年之后的頻率高，之所以不定積分考題出現(xiàn)的頻率較低，主要有兩個(gè)原因：一個(gè)原因是不定積分與定積分在計(jì)算方法上基本相同，主要采用3種方法：直接用基本積分公式、換元法和分部積分法，所以考定積分在本質(zhì)上也是在考不定積分，但定積分的應(yīng)用比不定積分更廣泛，因而歷年考定積分的頻率較高，而考不定積分的頻率很低;另一個(gè)原因是不定積分常常是在與其它知識點(diǎn)的考查過程中結(jié)合考查，比如微分方程、定積分等。求不定積分的主要方法是分部積分法和換元法，尤其是換元法;常用的換元法包括：三角變換、根式變換和指數(shù)變換等。
在定積分部分，主要考題題型有：定積分的計(jì)算、反常積分的計(jì)算、反常積分收斂性的判斷、定積分大小的比較，除了這幾種主要題型外，有時(shí)還會(huì)考：積分?jǐn)?shù)列的極限、定積分的證明問題。定積分有時(shí)會(huì)結(jié)合夾逼準(zhǔn)則、微分方程進(jìn)行出題考查。定積分計(jì)算中的基本方法是分部積分法和換元法，換元法的具體換元形式需根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的具體特點(diǎn)來選取，常用的換元形式有：三角變換、根式代換、倒代換等。在定積分問題中，還有一個(gè)非常重要的方法，就是變限積分的函數(shù)的求導(dǎo)，包括變上限和變下限積分的函數(shù)，這個(gè)方法不僅在積分的計(jì)算和證明中經(jīng)常用到，而且在計(jì)算函數(shù)極限、微分中值問題的證明、微分方程的求解等問題中經(jīng)常用到，因此，各位考生一定要熟練掌握。
關(guān)于定積分的應(yīng)用，包括兩個(gè)方面：幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。幾何應(yīng)用題型包括：平面圖形的面積計(jì)算、旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積計(jì)算、曲線的弧長計(jì)算，尤其是旋轉(zhuǎn)體的體積，包括平面圖形繞x或y軸旋轉(zhuǎn)一周，或繞平行于x或y軸的直線旋轉(zhuǎn)一周的體積計(jì)算，大家一定要熟練掌握。定積分的物理應(yīng)用主要是關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)、做功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等。在幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用中，幾何應(yīng)用考得更多。定積分的應(yīng)用問題中，經(jīng)常結(jié)合微分方程出題考查。
上面就是對近15年考研數(shù)學(xué)(二)的一元函數(shù)積分學(xué)內(nèi)容的真題考點(diǎn)和題型特點(diǎn)所作的總結(jié)分析，供各位考生參考，以后我們還會(huì)陸續(xù)對考研數(shù)學(xué)中其它考試內(nèi)容的考點(diǎn)和題型特點(diǎn)及規(guī)律進(jìn)行總結(jié)分析，希望各位考生留意查看，最后祝大家數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)順利，考試馬到成功。
