二重積分是數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三均要考的內(nèi)容，而二重積分的性質(zhì)是我們?cè)诳佳羞^程中務(wù)必要牢牢掌握的基本知識(shí)。二重積分的性質(zhì)是考研中?？嫉膬?nèi)容，它的出題形式多樣化，既有獨(dú)立的題目，也有融入計(jì)算的題目，題目中既有書本中所列出的二重積分的性質(zhì)的考察，也有書本中沒有列出的二重積分輪換對(duì)稱性的等知識(shí)點(diǎn)的考察。
對(duì)于二重積分的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論是我們務(wù)必要熟練掌握的知識(shí)，這方面出題大都以選擇或者解答題的形式出現(xiàn)，多為中等難度題型。
首先，我們看二重積分的不等式性質(zhì)。此性質(zhì)在05年數(shù)三的真題中就出現(xiàn)過，當(dāng)時(shí)是以選擇題的形式出現(xiàn)的。對(duì)于積分區(qū)域相同的二重積分，它們的大小就完全由在區(qū)域上被積函數(shù)的大小來決定，函數(shù)越大，積分值就越大。
二重積分的對(duì)稱性質(zhì)，可分為普通對(duì)稱和輪換對(duì)稱。
關(guān)于普通對(duì)稱：當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于x對(duì)稱，我們往往要考慮其被積函數(shù)是否為y的奇偶函數(shù)，當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，我們往往也要考慮其被積函數(shù)是否為x的奇偶函數(shù)，這樣來簡化二重積分的計(jì)算，當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，我們往往要考慮其被積函數(shù)是否是為x，y的奇偶函數(shù)。有些題目中可能積分區(qū)域?qū)ΨQ性不是那么明顯，需要我們稍微分割下來看其是否關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱。這種題目在09年數(shù)一，12年數(shù)二等都出現(xiàn)過。
關(guān)于輪換對(duì)稱：對(duì)于二重積分的輪換對(duì)稱時(shí)教科書上沒有的知識(shí)點(diǎn)，但是考研中也是有此類題出現(xiàn)的，比如，05年的數(shù)二，就出現(xiàn)過用輪換對(duì)稱來做的選擇題。當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于y=x對(duì)稱時(shí)或者當(dāng)x, y互換后，積分區(qū)域D不變時(shí)我們往往就要往輪換對(duì)稱上考慮了。對(duì)于這種利用輪換對(duì)稱性質(zhì)來簡化運(yùn)算的，我們一定要掌握住，特別是數(shù)一的同學(xué)，因?yàn)樵诤竺娴娜胤e分、曲面積分和曲線積分中也都有坐標(biāo)輪換對(duì)稱性質(zhì)。
另外，我們?cè)趯W(xué)習(xí)二重積分的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將定積分與二重積分的概念、性質(zhì)加以對(duì)比學(xué)習(xí)，比較它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，使復(fù)習(xí)更有成效。對(duì)于二重積分這一部分的內(nèi)容，我們不但要會(huì)計(jì)算它，關(guān)于二重積分的有關(guān)性質(zhì)我們也要很熟練的掌握。這樣我們?cè)谧鲇嘘P(guān)二重積分時(shí)，包括計(jì)算二重積分時(shí)，也是常常要先化簡后再計(jì)算的。對(duì)于這些性質(zhì)，同學(xué)們可以對(duì)做一些題目來記憶鞏固。
定積分中還有定積分的幾何意義，而二重積分中也有，可以參照定積分的幾何意義來理解。而二重積分的比較性質(zhì)，可加性質(zhì),包括被積函數(shù)的可加性和積分區(qū)域的可加性，這些性質(zhì)與定積分中的可加性相仿，也可以對(duì)比學(xué)習(xí)理解。
