研線小課堂開課啦！2021級(jí)考研黨眼下正是穩(wěn)抓穩(wěn)打基礎(chǔ)的階段，小編將為大家更新管理類聯(lián)考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)解析，滴水穿石，勢(shì)在必得。今天給大家講解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)【二項(xiàng)式定理】，看完你就會(huì)啦！
在排列組合模塊，二項(xiàng)式定理算是一個(gè)不大容易讓人搞明白并且熟練運(yùn)用的公式。學(xué)習(xí)好的學(xué)生，記住公式，就能解決大部分簡(jiǎn)單問(wèn)題，但遇上難一些的，就沒辦法熟練解題；學(xué)習(xí)稍微弱一些的學(xué)生，可能公式記起來(lái)就容易記混、記錯(cuò)，更別提解決問(wèn)題了。今天我們就用一篇文章解決你在這方面的痛處。
語(yǔ)言學(xué)家告訴我們：“如果不能搞清楚一個(gè)概念，那我們就會(huì)對(duì)這個(gè)概念產(chǎn)生理解上模糊、混沌。理解上有偏差，進(jìn)而行動(dòng)上就會(huì)偏離正確路線，再接著，結(jié)果不言自明。”
同樣地，一個(gè)公式，如果我們不能搞清楚它的前因后果，不能完全搞明白它的推導(dǎo)過(guò)程，那我們理解上就容易出差錯(cuò)，進(jìn)而不知道如何應(yīng)用，再進(jìn)而，做題就容易出錯(cuò)。
1，二項(xiàng)式定理的公式是這樣的：
公式看起來(lái)很簡(jiǎn)單，背起來(lái)也好背，但今天背了，明天可能就忘掉了。這反映了我們其實(shí)并沒有真正地理解這個(gè)公式。那如何叫做真正地理解一個(gè)公式呢？考核標(biāo)準(zhǔn)就是：能夠推導(dǎo)出來(lái)這個(gè)公式。
復(fù)雜的公式往往是由簡(jiǎn)單的公式推導(dǎo)出來(lái)的。我們先來(lái)看一個(gè)最簡(jiǎn)單的公式，這個(gè)公式就是我們學(xué)過(guò)的完全平方式。
這個(gè)公式我們大家都見過(guò)，而且很熟悉，那這里問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)式子是怎么展開的呢？怎么由左邊展開到右邊的呢？有同學(xué)會(huì)說(shuō)，它是這樣展開的：
這還是沒有觸及本質(zhì)。左邊是如何進(jìn)行運(yùn)算后，展開成右邊的形式的呢？不要不耐煩，一個(gè)問(wèn)題問(wèn)到底，才是解決這個(gè)問(wèn)題的核心所在。
2，讓我們都回到小學(xué)程度，這個(gè)式子是這樣子展開的：
用第一個(gè)括號(hào)中的去乘以第二個(gè)括號(hào)中中出來(lái)的，然后得到了；
用第一個(gè)括號(hào)中的去乘以第二個(gè)括號(hào)中的，得到了一個(gè)；
用第一個(gè)括號(hào)中的去乘以第二個(gè)括號(hào)中的，又得到了一個(gè)；
用第一個(gè)括號(hào)中的去乘以第二個(gè)括號(hào)中的，得到了。
也就是說(shuō)，每次在進(jìn)行展開的時(shí)候，我們讓每個(gè)括號(hào)里出來(lái)一個(gè)項(xiàng)，兩個(gè)括號(hào)就出來(lái)兩個(gè)項(xiàng)，然后讓出來(lái)的這兩項(xiàng)相乘出來(lái)一個(gè)結(jié)果，所有的項(xiàng)都參與過(guò)運(yùn)算后，匯總起來(lái)就是最終的結(jié)果。
3，現(xiàn)在我們用同樣的方法，來(lái)對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行分析。
【步驟一】（a+b）的n次方就是n個(gè)（a+b）相乘。
在每次運(yùn)算的時(shí)候，每個(gè)括號(hào)里都只出來(lái)一個(gè)項(xiàng)，a或者b。n個(gè)括號(hào)，那就總共是個(gè)n項(xiàng)相乘。
【步驟二】現(xiàn)在，我假設(shè)要讓所有的括號(hào)都不出來(lái)a，都出來(lái)b，那就是出來(lái)0個(gè)a和n個(gè)b。那也就意味著從這n個(gè)括號(hào)中，挑出個(gè)0括號(hào)，讓它出來(lái)0個(gè)a，讓剩下的n個(gè)括號(hào)都出來(lái)b。
n個(gè)括號(hào)中，挑出0個(gè)括號(hào)就是
出來(lái)0個(gè)a，就是a的0次方；
剩下的n個(gè)括號(hào)都出來(lái)b，就是b的n次方；
合起來(lái)就是二項(xiàng)式定理展開的第一項(xiàng)：
【步驟三】接著，我假設(shè)要讓其中某1個(gè)括號(hào)出來(lái)1個(gè)a，剩下的（n-1）個(gè)括號(hào)都出來(lái)b，那就是出來(lái)1個(gè)a和（n-1）個(gè)b。
那也就意味著從這n個(gè)括號(hào)中，挑出1個(gè)括號(hào)，讓它出來(lái)1個(gè)a，讓剩下（n-1）的個(gè)括號(hào)都出來(lái)b。
n個(gè)括號(hào)中，挑出個(gè)1括號(hào)就是
出來(lái)1個(gè)a，就是a的1次方；
剩下的（n-1）個(gè)括號(hào)都出來(lái)b，就是b的（n-1）次方；
合起來(lái)就是二項(xiàng)式定理展開的第二項(xiàng)：
接下來(lái)的展開，我們就不再贅述，二項(xiàng)式定理就是這樣簡(jiǎn)單而又樸素地展開并推導(dǎo)出來(lái)的。
4，用上述方法我們?nèi)プ龊?jiǎn)單的題，直接套用公式就可以了，我們這里不再展示。
一套方法能解決最難的題才能證明它的普適性。那我們就直接用這么樸素的方法，去做最難的題來(lái)試試，如下題：
分析：（x²+x+1）的5次方相當(dāng)于5個(gè)（x²+x+1）相乘。
想要x²出來(lái)，有2種路徑。
第一種：讓5個(gè)括號(hào)中有1個(gè)括號(hào)里出來(lái)1個(gè)x²，剩下的4個(gè)括號(hào)都出來(lái)1；
第二種：讓5個(gè)括號(hào)中有2個(gè)括號(hào)里出來(lái)2個(gè)3x相乘，剩下的3個(gè)括號(hào)都出來(lái)1。
學(xué)會(huì)了么？用這個(gè)方法，再?gòu)?fù)雜的題，都可以用最簡(jiǎn)單的方法做出來(lái)，而且速度很快。
以上就是今天的知識(shí)點(diǎn)，你學(xué)會(huì)了嗎？
